Математический блог команды "Арифметики"

Арифметическая прогрессия

В этом блоге вы увидите :

- учёных и их вкладе в изучение арифметической прогрессии

- задачи и их решения, в которых обнаруживается арифметическая прогрессия

- где же встречается арифметическая прогрессия, помимо математики

- направления современного исследования прогрессий

- решение нашей задачи на арифметическую прогрессию

Учёные

Архимед - одним из древних ученый занимавшимися прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями. Название прогрессии следовало из его перевода с греческого – «прогрессио – движение вперед».

Карл Гаусс - а известно ли вам, что создание 1-x n - членов арифметической прогрессии тесно переплетаются с Карлом Фридрихом Гауссом. Будучи ещё совсем ребенком, он проявлял себя истинным вундеркиндом. По легенде во время учёбы, когда учитель предложил детям сосчитать сумму от одного до ста, то восьмилетний Карл Гаусс очень быстро нашел искомую величину, так как смог заметить, что попарные суммы с противоположных сторон имеют одинаковый результат. Немного позднее он вывел формулу арифметической прогрессии.

Боэций - "прогрессия" как термин появилась в шестом веке, благодаря римляну Боэцию и воспринималась, как бесконечная числовая последовательность

Ариабхатта - знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. .

Магавира - пользуется суммы квадратов натуральных чисел и другими более сложными конечными рядами.

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречаемся в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского.

Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и дает общее правило для суммирования любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в.

Предположим, например, что мы знаем, что n кроликов рассажены в m клеток. Насколько велико должно быть n, чтобы гарантированно в одной из клеток было как минимум 2 кролика? Согласно принципу Дирихле, если n > m, то найдется клетка, в которой будут минимум 2 кролика. Теория Рамсея обобщает этот принцип.

Рамсей - создал теорию, изучающию условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Задачи в теории Рамсея обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось заданное условие или существовала заданная структура?».

Ван дер Варден - теорема Ван дер Вардена - это теорема из раздела математики, называемого теорией Рамсея. Теорема Ван дер Вардена утверждает, что для любых заданных положительных целых чисел r и k существует некоторое число N такое, что если целые числа {1, 2, ..., N} раскрашены, каждое с одним из r разных цветов, то в арифметической прогрессии есть не менее k целых чисел, элементы которых одного цвета.

Хейлс и Дюеветта - в математике теорема Хейлса–Джеветта является фундаментальным комбинаторным результатом теории Рамсея, названной в честь Альфреда У. Хейлса и Роберта И. Джеветта, относительно степени, в которой многомерные объекты обязательно должны демонстрировать некоторую комбинаторную структуру; невозможно, чтобы такие объекты были "полностью случайными".

Древнейшая прогрессия

Задача

Древнейшая задача на прогрессии -задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце прошлого столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая (приводим ее в вольной передаче):

Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность y. Тогда

 доля первого     х 
 доля второго     х + у 
 доля третьего    х + 2y 
 доля четвертого  х + 3y 
 доля пятого      х + 4y.

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=100,

7*[x+(x+y)]=(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)

После упрощений первое уравнение получает вид

x + 2y = 20,

а второе:

11х = 2y.

Решив эту систему, получаем:

x = 1 2/3, y = 9 1/6.

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Алгебра на клетчатой бумаге

Задача

В нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницкого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нем не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся поэтому с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приемом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, фигура ABDC на рис. 33 изображает прогрессию:

2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму ее членов, дополним чертеж до прямоугольника ABGE. Получим две равные фигуры ABDC и DGEC. Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т. е.

(АС + СЕ) × АВ.

Но АС + СЕ изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии; АВ - число членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S = (сумма крайних членов) × (число членов)

или

S =  ((первый + последний член) × (число членов))/2.

Поливка огорода

Задача

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 м и шириной 2,5 м. Поливая грядки, огородник приносит ведра с водой из колодца, расположенного в 14 м от края огорода (рис. 34), и обходит грядки по меже, причем воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки.

Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

Решение

Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь

14 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 14 = 65 м.

При поливке второй он проходит

14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 65 + 5 = 70 м.

Каждая следующая грядка требует пути на 5 м длиннее предыдущей. Имеем прогрессию:

65; 70; 75; ... ; 65 + 5 × 29.

Сумма ее членов равна

((65 + 65 + 29 × 5)30)/2 = 4125 м

Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.

Кормление кур

Задача

Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на каждую курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но так как в действительности число кур каждую неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.

Как велик был запас корма и на сколько времени был он первоначально рассчитан?

Решение

Пусть запасено было х декалитров корма на y недель. Так как корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру на курицу в неделю, то

х = 31y.

В первую неделю израсходовано было 31 дл, во вторую 30, в третью 29 и т. д. до последней недели всего удвоенного срока, когда израсходовано было:

(31 - 2y + 1) дл^*.

^*Поясним: расход корма в течение

 1-й  недели 31 дл, 
 2-й  недели 31 - 1 дл, 
 3-й  недели 31 - 2 дл, 
 ...........................................
 2y-й недели 31 - (2y - 1) = 31 - 2y + 1 дл.

Весь запас составлял, следовательно,

x = 31y = 31 - 30 + 29 + ... + (31 - 2у + 1).

Сумма 2у членов прогрессии, первый член которой 31, а последний 31 - 2у + 1, равна

31y = ((31 + 31 - 2y + 1)2y)/2 = (63 - 2y)y.

Так как y не может быть равен нулю, то мы вправе обе части равенства сократить на этот множитель. Получаем:

31 = 63 - 2y и y = 16,

откуда

х = 31y = 496.

Запасено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Бригада землекопов

Задача

Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. Но в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; еще через столько же времени - третий, за ним через такой же промежуток четвертый и так до последнего. При расчете оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

Решение

Пусть последний член бригады работал х часов, тогда первый работал Их часов. Далее, если число рывших канаву учеников было у, то общее число часов работы определится как сумма у членов убывающей прогрессии, первый член которой Иле, а последний х, т. е.

((11х + х)у)/2 = 6xy.

С другой стороны, известно, что бригаду из y человек, работая в полном составе, выкопала бы канаву в 24 часа, т. е. что для выполнения работы необходимо 24y рабочих часов. Следовательно,

6хy = 24y.

Число y не может равняться нулю; на этот множитель можно поэтому уравнение сократить, после чего получаем:

6x = 24

х = 4.

Итак, член бригады, приступивший к работе последним, работал 4 часа.

Мы ответили на вопрос задачи; но если бы мы полюбопытствовали узнать, сколько рабочих входило в бригаду, то не могли бы этого определить, несмотря на то, что в уравнении число это фигурировало (под буквой y). Для решения этого вопроса в задаче не приведено достаточных данных.

Яблоки

Задача

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение

Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил

x/2 + 1/2 = (x + 1)/2,

второй

1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/2²,

третий

1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/2³,

седьмой покупатель

(х + 1)/2⁷.

Имеем уравнение

(х + 1)/2 + (х + 1)/2² + (х + 1)/2³ + ... + (х + 1)/2⁷ = x

или

(x + 1)(1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... + 1/2⁷) = x.

Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем:

х/(x + 1) = 1 - 1/2⁷

х = 2⁷ - 1 = 127.

Всех яблок было 127.

Покупка лошади

Задача

В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу:

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй - 1/2 коп., за третий - 1 коп. и т. д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?

Решение

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

1/4 + 1/2 + 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^24-3

копеек. Сумма эта равна

(2²¹ × 2 - 1/4)/(2 - 1) = 2²² - 1/4 = 4194303 3/4 коп.

т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Вознаграждение воина

Задача

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие:

"Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике" (1795), заимствую следующую задачу:

"Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран".

Решение

Составляем уравнение

65535 = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^x-1

или

65535 = (2^x-1 × 2 - 1)/(2 - 1) = 2^x-1,

откуда имеем:

65536 = 2x и x = 16

- результат, который легко находим путем испытаний.

При столь великодушной системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

Где встречается арифметическая прогрессия и направления современного исследования прогрессий (заголовок)

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется.

Тема исследования прогрессий возникла в древности, и изучает различные последовательности, связанные с именами ученых, внесших вклад в развитие математической науки. Многие задачи, связанные прогрессиями, появились в глубокой древности. Сейчас данная тема включена в программу основной школы и на базовом уровне основное внимание уделяется изучение простейших числовых последовательностей – арифметической и геометрической прогрессии. Многие из них используются в самых различных науках. Числа Фибоначчи используются в хронологии и периодизации древнейшей истории, в архитектуре, искусстве, музыке, биологии, астрономии, при прогнозировании цен, определяют форму греческих ваз и спиральных галактик, строение подсолнуха и домика улитки, лежат в основе Фэн-шуй. По целочисленным последовательностям» Н. Слоуна собрано и упорядочено 2300 целочисленных, а значит, и область их применения очень велика.

Прогрессии имеют чрезвычайно широкую область применения их в жизни. Например, в химии, при повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии. В литературе: «…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2, 4, 6, 8,… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, ... и т.д.

Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие. Собственно, и сейчас ничего не изменилось. Люди подчас даже не задумываясь для решения определенных жизненных задач применяют знания о прогрессиях.

Направления, в которых используются прогрессии:

в медицине – например, для расчета необходимого количества лекарства, выписанного для приема по схеме (в первый день принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий);

в физике – скорость падения тела с высоты можно расчитать с помощью арифметической прогрессии;

в спорте и туризме: например, для определения времени восхождения на высоту, или для подсчета раскладки продуктов на всех участников похода.

в строительстве: возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии.

в экономике: сетевой маркетинг, финансовые пирамиды, расчет по кредитам, вкладам и прочим банковским продуктам – все это вообще невозможно без прогрессий и последовательностей. Иначе простейшие подсчеты заняли бы недели, а то и месяцы.

в обыденной жизни – сплетни и слухи разлетаются со скоростью арифметической, а подчас геометрической прогрессии.

В музыке прогрессией называется постепенное повторение мотива в один или два такта в восходящем или нисходящем порядке. При таком повторении мотива выбирается интервал, на который мотив должен постоянно перестанавливаться в восходящем или нисходящем направлении. Прогрессия бывает точная или неточная. В точной, мотив повторяется на другой ступени буквально, т. е. с сохранением не только названий всех своих интервалов, но и их точной величины. В неточной прогрессии допускаются отступления от точной величины интервалов мотива, и интервала, на которой мотив перестанавливается. Прогрессия в музыке называется секвенцией.

Равноускоренное движение — арифметическаяпрогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело увеличивает скорость в одинаковое число раз.

Технические задачи: После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм. рт. ст.

Как мы видим современное исследование прогрессий затрагивает очень большую область применения. Ведь в реальной жизни мы часто встречаемся с различного вида последовательностями. Многие из них используются в самых различных науках. Таким образом, возможности математики при применении ее методов в физике, биологии, химии, экономике и других науках незаменимы, а значит, и изучение математики необходимо для овладения любой профессией.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента

Применение краеведческих материалов при составлении текстовых задач на арифметическую прогрессию

Введение

Актуальность. На протяжении нескольких последних лет ведётся активная работа по развитию Владимирской области: обсуждаются проблемы и перспективы ресурсов, совершенствуется транспортная инфраструктура, проводятся крупные форумы. Параллельно должен развиваться и человеческий потенциал региона, так как без грамотных специалистов, без людей, любящих и знающих свой край, достичь желаемых результатов трудно.

Большинство жителей Владимирской области плохо знает географию своего края. Как можно исправить эту ситуацию, если в школьной программе нет уроков краеведения? На помощь придёт математика. Этот учебный предмет встречается в расписании любого класса практически каждый день. Если решать задачи, построенные на краеведческом материале, то школьники лучше узнают и запомнят разнообразные факты о родном крае.

Поэтому цель данного исследования: составление математических задач на основе краеведческого материала, с помощью которого можно улучшить вычислительные навыки учащихся и повысить их уровень знаний о родном крае.

Задачи:

1. Подобрать краеведческий материал для составления задач.

4. Составить задачи.

4. Провести уроки с решением задач в классе с последующим анкетированием.

Гипотеза: с помощью интересного сборника краеведческих задач можно получить новую информацию о малой родине и одновременно повысить свои вычислительные навыки.

Объект исследования: исторические материалы, цифры, даты, факты, географические данные, а та же обобщение, сравнение и интерпретация этих данных.

Предмет исследования: краеведческая составляющая в математической задаче, сравнение субъективной и объективной оценки сложности задач по разделам, выводы о реальной самооценке уровня знаний по данным темам.

Практическая значимость: использование задач в качестве дополнения к основному учебнику.

Методы исследования, инструменты, место исследования:

1. Поиск, сбор и анализ материала из различных источников (литература, интернет, данные статистики).

2. Анализ полученной информации, её обработка, выборка, обобщение, систематизация, определение возможности для использования этой информации.

3. Сравнение данных, составление задач по определённому типу.

Краеведение и математика. Что общего?

1.1. Краеведение

Владимирская область расположена в центре Европейской части России на юге Волжско-Окского междуречья.

Граничит на западе и юго-западе с Московской областью, на севере — с Ярославской и Ивановской, на юге — с Рязанской, на востоке — с Нижегородской областью. Область занимает территорию между 56°47’ и 55°09’ северной широты и 38°17’ и 42°58’ восточной долготы. Площадь территории составляет 29 000 км², протяжённость на 170 км с севера на юг и на 280 км — с запада на восток.

Территория находится в центре Восточно-Европейской равнины, основная часть территории — слабо всхолмлённая равнина с общим понижением от Клинско-Дмитровской гряды (высоты до 271 м) на севере, через Владимирское (Юрьево) Ополье (высота до 236 м), далее на юг к Мещёрской низменности (преобладающая высота 120 м) и на восток через Окско-Цнинский вал (до 184 м) и Гороховецкий отрог (верхняя точка — 191 м) к Балахнинской низменности (около 90 м) и устью Клязьмы (67 м). Благодаря резким склонам возвышенностей регион обладает рекреационными (зимние виды спорта) ресурсами и гидроаккумуляционными возможностями.

Основными минеральными ресурсами области являются известняки, торф, строительные пески и камни, огнеупорные и кирпичные глины. На территории области встречаются естественные источники минеральных вод.

Среди полезных ископаемых видное место занимает торф. Во Владимирской области насчитывается более тысячи торфяных месторождений. Однако далеко не все жители Владимирского края, знают о его уникальности. Одна из причин этого неведения – отсутствие в учебной программе основной школы краеведения.

1.2. Математика

Математика – один из основных школьных предметов. Одно из основных умений, которое отрабатывается в математике – это решение задач. Оно является основным в развитии учащихся. С помощью текстовой задачи формируются другие важные умения, которые связаны с пониманием текста, выделением главного в условии, определением способа решения, проверкой полученного результата. Кроме того, умение решать задачу на арифметическую прогрессию тренирует внимание, способствует укреплению памяти, пополняет словарный запас и способствует развитию речи. В ходе решения задач формируется умение переводить ее условие на язык математических цифр и уравнений, что способствует развитию логики и мышления, повышает эффективность обучения не только в математике, но и в других дисциплинах.

1.3. Что общего между краеведением и математикой?

Предположим, что между краеведением и математикой нет ничего общего. Однако если посмотреть на краеведение, то в нём много числовых значений – это и единицы измерения площадей, расстояний, численность определённых местных видов животных, растений, даты. Изучением и обработкой числовой информации занимается наука математика. Значит, краеведение и математика непосредственно связаны между собой. Кроме того, трудности с решением текстовых задач могут объясняться тем, что содержание таких задач бывает не всем интересно. Поэтому использование местного краеведческого материала может восстановить интерес к такой сложной науке, как математика, поможет изучить родной край, его историю, географию, флору и фауну и преподнесёт материал в занимательной форме, научит любить свою «малую» родину. Кроме того, краеведческие материалы, используемые в задачах по математике, позволяют узнать что-то новое о своём крае, способствуют расширению кругозора, развивают наблюдательность, учат определять свойства предметов и выявлять их основные признаки.

Таким образом, можно смело предположить, что создание математических задач, составленных на краеведческом материале, позволит не только развить вычислительные навыки у учащихся, но и повысить их уровень знаний о родном крае.

1.4. Исследование добычи торфа в Национальном парке «Мещера»

Торфяные болота получили широкое распространение на территории Владимирской области. Они занимают площадь более 100 тыс. га, и запасы торфа на них оценивались в 355 млн. тонн, что составляет 6% всех ресурсов Центрального региона России.
На территории Гусь-Хрустального района расположено более 40% всех торфяных запасов и 5 из 7 самых крупных месторождений торфа: Славцево-Островское, Сулово-Панфиловское, Тасин Борское, Орловское, Курловское. На территории Национального парка «Мещера» действовало 3 торфопредприятия: Мезиновское, Тасин Борское, Бакшеевское.
Попытки использовать торф в качестве топлива совершались еще в первой половине XIX в. Тогда основными потребителями были стекольные и текстильные предприятия династии Мальцовых. Этим предприятиям требовалось большое количество топлива, в качестве которого использовалась древесина. Ежегодно для обеспечения заводских потребностей вырубалось до 2 000 десятин, что составляло 1,6% от площади всех лесов, принадлежащих Мальцовскому промышленному товариществу (120 000 десятин). К тому времени произошло значительное сокращение лесов вокруг промышленных предприятий. Очень остро стояла энергетическая проблема. Завозить подмосковный уголь по железной дороге было очень дорого, а ввозить дрова еще дороже. Поэтому взор промышленников был обращен на местный вид топлива - торф. Второй важной причиной использования торфа стало то, что его калорийность значительно выше, чем у дров.
Достоверно известно, что добыча торфа в Гусь-Хрустальном районе началась в 1841 г. кусковым способом. На болоте Медвежье (участок Сулово-Панфиловского болотного массива), расположенном в 12 км от г. Гусь-Хрустальный, в левобережной части р. Поль, ежегодно добывалось до 1000 куб. саженей.

Добывали торф ручным способом, рыли отводящие каналы в реки Поль и Бужа, которые сохранились до настоящего времени.

На торфопредприятии освоено производство микропарников для выращивания овощей, цветов в домашних условиях. В 1975 г. на Мезиновском торфопредприятии организовано производство торфоблоков для рассады в тепличном хозяйстве и изоляционных плит.

К началу 1980-х гг. мощности по добычи торфа были значительно снижены.
В XXI в. появляются новые перспективы и направления использования торфяных болот: экологическое просвещение и туризм.

1.5. Составление математических задач на основе арифметической прогресии.

Экскаваторщик работая на Мезиновском торфопредприятии в первый час добыл 800 м³ торфа, а в каждый следующий час на 25 м³ торфа чем в предыдущий.

Вопрос: За сколько часов он добудет 5700 м³ торфа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть экскаваторщик работая на Мезиновском торфопредприятии работал n часов. Тогда объем, который требуется добыть есть сумма арифметической прогрессии где а₁=800 м³ , d= 25 м³ , S_n = 5700 м³

Составим уравнение

((1600-25(n-1))/2)*n=5700

n₁=8;

n₂=57 – не удовлетворяет условию задачи

ОТВЕТ: за 8 часов экскаваторщик добудет 5700 м³ торфа.

1.6. Заключение

Задачи являются важным условием обучения математике. При составлении задач на краеведческом материале можно узнать много нового и интересного о своем крае: его историю, географию, биологию, статистические данные по Владимирской области. Эти задачи помогут учащимся в совершенствовании математических навыков, будут способствовать появлению интереса к краеведению

Поиск по этому блогу

Математический блог команды "Арифметики"